제목 : 물리 : 제1 우주속도(원궤도 속도)에서 m의 부활

문제를 일단 봅시다.

Q) 지구 중심으로부터 10000km의 고도에서 원운동 중인 인공위성의 속력을 구하라.

 ( 단 지구의 질량은 5.972X10^24 kg, 중력상수는 6.67X10^-11 이다 )

A) 위 문제는 제1 우주속도를 묻는 문제이며 해당 공식은 v = √(G·M/r)입니다.

또한 공식에는 스몰m(인공위성 질량)이 없으므로 인공위성의 질량에 상관없이

궤도의 속도는 계산될 수 있을 것처럼 보입니다.

그러므로 공식에 값을 대입하면

v = √(6.67X10^-11·5.972X10^24/10000000) ≒ 6311m/s 이군요

대부분 위 풀이가 정답이라고 생각할겁니다.

하지만 위 풀이는 부정확한 근사값이며, 엄밀히는 인공위성의 질량도 고려해야 합니다.

머라고요? 교재에 나온 공식에는 분명 스몰m이 없습니다.

그런데 위성의 질량을 고려해야 한다구요?

네, 그렇습니다.

문제에서 주어진 r 값의 성격은 지구와 위성의 상대거리일 뿐,

위성의 실질적인 원궤도 반지름이 아닙니다.

인공위성의 질량을 고려해야 하는 이유는 인공위성의 실제 운동궤도 반지름은 인공위성의

질량에 따라 달라지기 때문입니다.

또한 운동궤도 반지름이 달라지면 인공위성의 구심력도 달라지게 됩니다.

저의 설명에 뭔가 아차 싶지 않으신가요?

이미 눈치를 채셨겠지만, 계속 설명을 해 보겠습니다.

우주 공간에서 몸무게 90kg 짜리 원반던지기 올림픽 선수가 10m 짜리 로프에 매달린

10kg 질량의 추를 잡고 주기 T로 원반을 돌릴 때 원반의 구심력은 어떻게 될까요?

위와 같은 문제에서 원반의 운동반지름은 10m 궤도를 갖지 못하게 됩니다.

문제에서 주어진 로프의 길이 10m는 선수와 원반의 상대거리 일 뿐이며 실제로는

서로의 공통질량중심인 (9:1 위치)에서 { 선수의 구심력 = 원반의 구심력 }관계를 이루며

상호간 원운동을 할 것이므로 선수는 반지름 1m의 원운동을 하게 되고,

원반은 반지름 9m의 원운동을 하게 됩니다.

결국 원반에 대한 구심력도 10m가 아닌, 9m의 원운동에 대해 작용이 됩니다.

이처럼 제1 우주속도에 관련된 문제에서 주어지는 r값의 성격에 따라

위성의 운동반지름과 구심력이 달라집니다.

하지만, 대부분의 문제 (필자가 확인한 경우에서는 모든문제)에서 주어지는 r 값의 성격은

서로간의 상대거리임에도 불구하고 위성의 질량은 무시되고 있었으며,

결국 부정확한 근사값을 묻는 문제들이 대부분 이였고, 해당 문제풀이에서

‘위성의 질량을 고려해야 더 정확하다’는 조언을 하면 오히려 오개념 소리까지 듣기도 합니다.

결론을 내자면, 제1 우주속도 공식을 올바로 유도하려면 구심력 r값을

공통질량 중심 r(M/(m+M)) 값으로 치환해야 합니다.

그렇다면 제1 우주속도 유도과정은 아래와 같아집니다.

이것은 제1 우주속도 공식에서 스몰 m이 다시 부활 되어야 함을 의미합니다.

물론 위 공식으로 계산되는 속도는 궤도의 실제 선속도가 되므로

상호간의 상대적(관측적) 선속도는 (m+M)/M 배로 더 커질 것입니다.

요약

제1 우주속도에서 상호간의 질량에 의해 원궤도 반지름과 구심력이 바뀝니다.

교재에 기술된 제1 우주속도 공식 v = √(GM/r) 은 근사식이며

보다 정확한 실제 원궤도 속도 v = M√(G/r(m+M)) 입니다.

그리고 관측적 상대속도 u = v·(m+M)/M 입니다.

또한 언제나 u > v 입니다.

이상입니다.